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《剑指Offer》数组中的逆序对

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题目描述:

  在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007。

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围:

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

输入:

1,2,3,4,5,6,7,0

输出:
7

解题思路:

如数组{7,5,6,4},逆序对总共有5对,{7,5},{7,6},{7,4},{5,4},{6,4};

思路1:暴力解法,顺序扫描整个数组,每扫描到一个数字的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字,由于每个数字都要和O(n)个数字作比较,因此这个算法的时间复杂度是O(n^2)。

思路2:分治思想,采用归并排序的思路来处理,如下图,先分后治:

《剑指Offer》数组中的逆序对

先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分解成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7>5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6},{4}中也有逆序对(6,4),由于已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组进行排序,避免在之后的统计过程中重复统计。

《剑指Offer》数组中的逆序对

逆序对的总数 = 左边数组中的逆序对的数量 + 右边数组中逆序对的数量 + 左右结合成新的顺序数组时中出现的逆序对的数量

总结一下:

这是一个归并排序的合并过程,主要是考虑合并两个有序序列时,计算逆序对数。

对于两个升序序列,设置两个下标:两个有序序列的末尾。每次比较两个末尾值,如果前末尾大于后末尾值,则有”后序列当前长度“个逆序对;否则不构成逆序对。然后把较大值拷贝到辅助数组的末尾,即最终要将两个有序序列合并到辅助数组并有序。

这样,每次在合并前,先递归地处理左半段、右半段,则左、右半段有序,且左右半段的逆序对数可得到,再计算左右半段合并时逆序对的个数。

代码实现(c++)

注意:InversePairsCore形参的顺序是(data,copy),而递归调用时实参是(copy,data)。

要明白递归函数InversePairsCore的作用就行了,它是对data的左右半段进行合并,复制到辅助数组copy中有序。

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        if(data.size() == 0){
            return 0;
        }
        // 排序的辅助数组
        vector<int> copy;
        for(int i = 0; i < data.size(); ++i){
            copy.push_back(data[i]);
        }
        return InversePairsCore(data, copy, 0, data.size() - 1) % 1000000007;
    }
    long InversePairsCore(vector<int> &data, vector<int> &copy, int begin, int end){
        // 如果指向相同位置,则没有逆序对。
        if(begin == end){
            copy[begin] = data[end];
            return 0;
        }
        // 求中点
        int mid = (end + begin) >> 1;
        // 使data左半段有序,并返回左半段逆序对的数目
        long leftCount = InversePairsCore(copy, data, begin, mid);
        // 使data右半段有序,并返回右半段逆序对的数目
        long rightCount = InversePairsCore(copy, data, mid + 1, end);

        int i = mid; // i初始化为前半段最后一个数字的下标
        int j = end; // j初始化为后半段最后一个数字的下标
        int indexcopy = end; // 辅助数组复制的数组的最后一个数字的下标
        long count = 0; // 计数,逆序对的个数,注意类型

        while(i >= begin && j >= mid + 1){
            if(data[i] > data[j]){
                copy[indexcopy--] = data[i--];
                count += j - mid;
            }
            else{
                copy[indexcopy--] = data[j--];
            }
        }
        for(;i >= begin; --i){
            copy[indexcopy--] = data[i];
        }
        for(;j >= mid + 1; --j){
            copy[indexcopy--] = data[j];
        }
        return leftCount + rightCount + count;
    }
};

代码实现(python)

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def InversePairs(self, data):
        # write code here
        if not data:
            return 0
        temp = [i for i in data]
        return self.mergeSort(temp, data, 0, len(data)-1) % 1000000007

    def mergeSort(self, temp, data, low, high):
        if low >= high:
            temp[low] = data[low]
            return 0
        mid = (low + high) / 2
        left = self.mergeSort(data, temp, low, mid)
        right = self.mergeSort(data, temp, mid+1, high)

        count = 0
        i = low
        j = mid+1
        index = low
        while i <= mid and j <= high:
            if data[i] <= data[j]:
                temp[index] = data[i]
                i += 1
            else:
                temp[index] = data[j]
                count += mid-i+1
                j += 1
            index += 1
        while i <= mid:
            temp[index] = data[i]
            i += 1
            index += 1
        while j <= high:
            temp[index] = data[j]
            j += 1
            index += 1
        return count + left + right

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