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《剑指Offer》数组中只出现一次的数字

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题目描述:

  一个整型数组里除了两个数字之外,其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)。

解题思路:

大家首先想到的是顺序扫描法,但是这种方法的时间复杂度是O(n^2)。接着大家又会考虑用哈希表的方法,但是空间复杂度不是O(1)。

应该怎么做才能即满足时间复杂度是O(n)又满足空间复杂度是O(1)的要求呢?

我们可以想一想“异或”运算的一个性质,我们直接举例说明。

举例:{2,4,3,6,3,2,5,5}

这个数组中只出现一次的两个数分别是4和6。怎么找到这个两个数字呢?

我们先不看找到俩个的情况,先看这样一个问题,如何在一个数组中找到一个只出现一次的数字呢?比如数组:{4,5,5},唯一一个只出现一次的数字是4。

我们知道异或的一个性质是:任何一个数字异或它自己都等于0。也就是说,如果我们从头到尾依次异或数组中的每一个数字,那么最终的结果刚好是那个只出现一次的数字。比如数组{4,5,5},我们先用数组中的第一个元素4(二进制形式:0100)和数组中的第二个元素5(二进制形式:0101)进行异或操作,0100和0101异或得到0001,用这个得到的元素与数组中的三个元素5(二进制形式:0101)进行异或操作,0001和0101异或得到0100,正好是结果数字4。这是因为数组中相同的元素异或是为0的,因此就只剩下那个不成对的孤苦伶仃元素。

现在好了,我们已经知道了如何找到一个数组中找到一个只出现一次的数字,那么我们如何在一个数组中找到两个只出现一次的数字呢?如果,我们可以将原始数组分成两个子数组,使得每个子数组包含一个只出现一次的数字,而其他数字都成对出现。这样,我们就可以用上述方法找到那个孤苦伶仃的元素。

我们还是从头到尾一次异或数组中的每一个数字,那么最终得到的结果就是两个只出现一次的数组的异或结果。因为其他数字都出现了两次,在异或中全部抵消了。由于两个数字肯定不一样,那么异或的结果肯定不为0,也就是说这个结果数组的二进制表示至少有一个位为1。我们在结果数组中找到第一个为1的位的位置,记为第n位。现在我们以第n位是不是1为标准把元数组中的数字分成两个子数组,第一个子数组中每个数字的第n位都是1,而第二个子数组中每个数字的第n位都是0。

举例:{2,4,3,6,3,2,5,5}

我们依次对数组中的每个数字做异或运行之后,得到的结果用二进制表示是0010。异或得到结果中的倒数第二位是1,于是我们根据数字的倒数第二位是不是1分为两个子数组。第一个子数组{2,3,6,3,2}中所有数字的倒数第二位都是1,而第二个子数组{4,5,5}中所有数字的倒数第二位都是0。接下来只要分别两个子数组求异或,就能找到第一个子数组中只出现一次的数字是6,而第二个子数组中只出现一次的数字是4。

代码实现(c++)

class Solution {
public:
    void findNumsAppearOnce(vector<int> data,int* num1,int *num2) {
        int length = data.size();
        if(length < 2){
            return;
        }

        // 对原始数组每个元素求异或
        int resultExclusiveOR = 0;
        for(int i = 0; i < length; ++i){
            resultExclusiveOR ^= data[i];
        }

        unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR);

        *num1 = *num2 = 0;
        for(int j = 0; j < length; j++){
            if(IsBit1(data[j], indexOf1)){
                *num1 ^= data[j];
            }
            else{
                *num2 ^= data[j];
            }
        }
    }
private:
    // 找到二进制数num第一个为1的位数,比如0010,第一个为1的位数是2。
    unsigned int FindFirstBitIs1(int num){
        unsigned int indexBit = 0;
        // 只判断一个字节的
        while((num & 1) == 0 && (indexBit < 8 * sizeof(unsigned int))){
            num = num >> 1;
            indexBit++;
        }
        return indexBit;
    }
    // 判断第indexBit位是否为1
    bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit){
        num = num >> indexBit;
        return (num & 1);
    }
};

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