文章目录

• 什么是方差（Variance）
• • 方差公式的含义（为什么方差公式长这个样子）
  • 总体方差
  • 样本方差
  • • 为什么样本偏差要是n-1
• 什么是标准差（Standard Deviation）
• 什么是相对标准偏差（Relative Standard Deviation）
• 什么是正态分布（Normal Distribution）
• • 正态分布的性质
• 参考文献

什么是方差（Variance）

方差描述了一组数据距离他们平均值的离散程度。（Variance measures the dispersion of a set of data points around their mean）

例如，如果一个班的平均分是50分，可能有两种极端情况：

1. 大部分人都在50左右附近徘徊：这种情况，说明数据集的每个数据距离平局值较近，离散程度小，方差较小
2. 一半人接近一百分，另一半人接近0分：这种情况说明数据集的每个数据距离平局值较远，离散程度大，方差较大

这样，我们就可以通过对比两个班的方差，来计算哪个班的成绩比较稳定。

方差分为两种：

• 样本方差（Sample Variance）：样本方差只选取整体数据的一部人来计算。当我们很难获取到整体数据时，就可以使用样本方差。公式如下： S 2 = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 S^2 = \frac{\sum^{n}_{i=1} (x_i-\bar{x})^2}{n-1} S2=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​
• 总体方差（Population Variance）：使用所有数据来计算方差。公式如下： σ 2 = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 N \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i -\mu)^2}{N} σ2=N∑i=1N​(xi​−μ)2​

总体方差的符号为 σ 2 \sigma^2 σ2，样本方差的符号为 S 2 S^2 S2

方差公式的含义（为什么方差公式长这个样子）

我们把重点放在分子上： ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 \sum^{n}_{i=1} (x_i-\bar{x})^2 ∑i=1n​(xi​−xˉ)2

x i − x ˉ x_i-\bar{x} xi​−xˉ : 距离平均值越小的数据，该结果越小，距离平均值越大的数据，该值越大。

那为什么又要加一个平方呢？ ( x i − x ˉ ) 2 (x_i-\bar{x})^2 (xi​−xˉ)2，主要有两个目的：

1. 消除负数：如果不平方的话就会有负值存在，这样一求和，正负抵消了。
2. 放大远距离数据的影响力：平方嘛，数据越大，平方后的结果就越大，这样可以更好的描述数据的离散程度

总体方差

总体方差公式如下：

σ 2 = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 N \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i -\mu)^2}{N} σ2=N∑i=1N​(xi​−μ)2​

其中， μ \mu μ 为总体数据的平均值， N N N 为总数， x i x_i xi​ 为每个数据的值

样本方差

样本方差的公式如下：

S 2 = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 S^2 = \frac{\sum^{n}_{i=1} (x_i-\bar{x})^2}{n-1} S2=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​

其中， x ˉ \bar{x} xˉ 为样本数据的平均值， n n n 为样本的总数， x i x_i xi​ 为每个数据的值

为什么样本偏差要是n-1

简单来说，如果不减1的话，那么样本方差一定小于总体方差。

数学证明如下（假设样本方差不减1）：

由上式子可以看出，除非当 X ˉ = μ \bar{X}=\mu Xˉ=μ 时，否则一定有
而在实践中，我们无法得知总体数据的平均值，所以就通过对 n − 1 n-1 n−1 的方式将样本方差稍微增大，以减少与实际方差的误差。

补充，上述式子，稍有难理解的地方：

2 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) = 2 n ( ( X 1 − μ ) + ( X 2 − μ ) + ⋯ + ( X n − μ ) ) = 2 ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) n − 2 n ∗ n ∗ μ = 2 X ˉ − 2 μ = 2 ( X ˉ − μ ) \begin{aligned} \frac{2}{n} \sum^{n}_{i=1}(X_i - \mu) = & \frac{2}{n} ((X_1 - \mu) + (X_2 - \mu) + \cdots + (X_n - \mu)) \\\\ = & 2\frac{(X_1 + X_2 +\cdots + X_n)}{n} - \frac{2}{n} * n* \mu \\ \\ = & 2\bar{X} - 2\mu \\ \\ = & 2(\bar{X} - \mu) \end{aligned} n2​i=1∑n​(Xi​−μ)====​n2​((X1​−μ)+(X2​−μ)+⋯+(Xn​−μ))2n(X1​+X2​+⋯+Xn​)​−n2​∗n∗μ2Xˉ−2μ2(Xˉ−μ)​

什么是标准差（Standard Deviation）

学过数学的都知道，把方差开平方就是标准差。

• 总体标准差：符号 σ \sigma σ， σ = σ 2 \sigma = \sqrt{\sigma^2} σ=σ2 ​
• 样本标准差：符号 S S S， S = S 2 S = \sqrt{S^2} S=S2 ​

那么为什么有了方差，还要引入标准差呢，或者说，为什么开了方，就是标准差呢？

其实，这是为了保证使数据的量纲保持一致。举例来说：

一个班的平局身高为170cm。该班身高的标准差为10cm，方差为100cm

从这个例子就可以看出，通过标准差，我们我可以看出，该班学生的身高大概围绕着170cm上下10cm进行浮动。但是看方差却看不出个所以然

什么是相对标准偏差（Relative Standard Deviation）

相对标准偏差（Relative Standard Deviation）也可以称为相对标准差，变异系数，标准偏差系数（Coefficient of Variation，CV）。

有了标准差了，为什么又要搞一个相对标准偏差呢？

来看下面这个例子：

假设一个汉堡在美国的不同地区的价格不一样，分别为：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

若现在的美元兑中国的汇率是1:6，那么使用RMB买，价格为：6,12,18,24,30,36,42,48,54,60

那么根据这两个数据，我们很容易得到两组数据：

此时，你拿着这组数据说，RMB买买汉堡时，离散程度（波动程度）要远大于美元。这显然是不合适的。 所以此时，为了针对单位不一致时可以更准确的说明两组数据的离散程度，就引入了相对标准偏差。计算公式也很简单，只需要用标准差除以平均值就是相对标准偏差

• 总体相对标准偏差： C V = σ μ CV=\frac{\sigma}{\mu} CV=μσ​
• 样本相对标准偏差： C V = S x ˉ CV=\frac{S}{\bar{x}} CV=xˉS​

此时，我们再对上述两组数据进行比较：

通过对比相对标准偏差，我们可以看到，其实这两组数据的离散程度是一致的

什么是正态分布（Normal Distribution）

讨论完上面的，就可以开始说正态分布了。

正态分布，英文为Normal Distribution，顾名思义：正常的分布。

生活中大部分数据分布并不是均匀的，例如：收入水平、考试成绩。这些数据都有一个特征：中间数据量多，两边数据量少。最终形成如下图所示的分布情况：

如果实际举例，横坐标为工资，那纵坐标就是人数。中间的 μ \mu μ 为平均工资。

正态分布函数图像的方程式如下：

f ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) f(x)=2π ​σ1​exp(−2σ2(x−μ)2​)

该公式中，包含一个自变量 x x x，两个常量 μ \mu μ 和 σ \sigma σ ，其中 μ \mu μ 是指总体平均值， σ \sigma σ是标准差。该公式记做：

X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N (\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)

读作X服从正态分布。

正态分布的性质

我们根据下图这个例子：

绿色的线表示婴儿出生时的身高（单位英尺）分布，蓝色的线表示成人的身高分布。这两个数据都符合正态分布。

其中可以看出，绿色的平均值 20，即 μ 绿 = 20 \mu_绿 = 20 μ绿​=20，而蓝色的平均值是70，即 μ 蓝 = 70 \mu_蓝=70 μ蓝​=70。

所以，正态分布中的平均值 μ \mu μ 是用来决定图的中线在哪里

除此之外可以看出，绿色线的波动范围大概为 ± 5 \pm 5 ±5 英尺，即标准差为5英尺 σ 绿 = 5 \sigma_绿=5 σ绿​=5，蓝色线的波动范围大概是 ± 10 \pm 10 ±10英尺，即标准差为10英尺 σ 蓝 = 10 \sigma_蓝=10 σ蓝​=10。

所以，正态分布的宽窄，是由标准差决定的

再看，绿色线波动范围要小，所婴儿出生身高为20英尺的概率很大，而蓝色波动范围大，所以一个成年人身高为70英尺的概率相对就会小。所以蓝色线的高度远低于绿色线

所以，正态分布的标准差越小，这个图像就会越高，标准差越大，就会越矮

那么，另一个问题来了，有多少成年人是在 170 ± 10 170\pm10 170±10上下浮动呢，可以通过该图进行说明：

从图中可以看出，正态分布的主要三块面积为：

1. 68.27% 的数据落在 u ± σ u\pm\sigma u±σ的区间上
2. 95.45% 的数据落在 u ± 2 σ u\pm2\sigma u±2σ的区间上
3. 99.73% 的数据落在 u ± 3 σ u\pm3\sigma u±3σ的区间上

这个规则适用于所有的正态分布