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蓄水池抽样算法 (Reservoir Sampling Algorithm)

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蓄水池抽样算法简介

蓄水池抽样算法是随机算法的一种,用来从N个样本中随机选择K个样本,其中N非常大(以至于N个样本不能同时放入内存)或者N是一个未知数。其时间复杂度为O(N),包含下列步骤 (假设有一维数组 S, 长度未知,需要从中随机选择 k 个元素, 数组下标从 1 开始), 伪代码如下:

array R[k];    // result
integer i, j;

// fill the reservoir array
for each i in 1 to k do
    R[i] := S[i]
done;

// replace elements with gradually decreasing probability
for each i in k+1 to length(S) do
    j := random(1, i);   // important: inclusive range
    if j <= k then
        R[j] := S[i]
    fi
done

算法首先创建一个长度为K的数组(蓄水池)用来存放结果,初始化为S的前k个元素,然后从k+1个元素开始迭代直到数组结束,算法生成一个随机数j∈[1, i],如果 j ≤ k,那么蓄水池的第 j 个元素被替换为S的第i个元素。

算法的正确性证明

定理:该算法保证每个元素以 k / n 的概率被选入蓄水池数组。

证明:首先,对于任意的 i,第 i 个元素进入蓄水池的概率为 k / i;而在蓄水池内每个元素被替换的概率为 1 / k; 因此在第 i 轮第j个元素被替换的概率为 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下来用数学归纳法来证明,当循环结束时每个元素进入蓄水池的概率为 k / n.

假设在 (i-1) 次迭代后,任意一个元素进入 蓄水池的概率为 k / (i-1)。有上面的结论,在第 i 次迭代时,该元素被替换的概率为 1 / i, 那么其不被替换的概率则为 1 - 1/i = (i-1)/i;在第i 此迭代后,该元素在蓄水池内的概率为 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 归纳部分结束。

因此当循环结束时,每个元素进入蓄水池的概率为 k / n. 命题得证。

算法实现

#include<iostream>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;

vector<int> ReservoirSampling(vector<int>& v, int n, int k){
    if (k > n || v.size() != n)return vector<int>{};

    vector<int> res(v.begin(), v.begin() + k);
    int i = 0, j = 0;
    for (int i = k; i < n; i++){
        j = rand() % (i + 1);  // inclusive range [0, i]
        if (j < k){
            res[j] = v[i];
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    vector<int> v(10, 0);
    for (int i = 0; i < 10; ++i) v[i] = i + 1;

    srand((unsigned int)time(NULL));
    // test algorithm RUN_COUNT times
    const int RUN_COUNT = 10000;
    int cnt[11] = { 0 };
    for (int k = 1; k <= RUN_COUNT; ++k)
    {
        cout << "Running Count " << k << endl;

        vector<int> samples = ReservoirSampling(v, 10, 5);

        for (size_t i = 0; i <samples.size(); ++i)
        {
            cout << samples[i] << " ";
            cnt[samples[i]]++;
        }
        cout << endl;
    }

    // output frequency stats
    cout << "*************************" << endl;
    cout << "Frequency Stats" << endl;
    for (int num = 1; num < 11; ++num)
    {
        cout << num << " : \t" << cnt[num] << endl;
    }
    cout << "*************************" << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

结果如图所示:

算法局限性

蓄水池算法的基本假设是总的样本数很多,不能放入内存,暗示了选择的样本数k是一个与n无关的常数,然而在实际的应用中,k常常与n相关,比如我们想要随机选择1/3的样本(k = n / 3),这时候需要别的算法或者分布式算法。