算法-普里姆算法

应用场景-修路问题

1) 有胜利乡有 7  个村庄(A, B, C, D, E, F, G)  ，现在需要修路把 7  个村庄连通

2) 各个村庄的距离用边线表示( 权) 如 ，比如 A – – B 离 距离 5  公里

3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路: 将 10  条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.

正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

最小生成树

修路问题本质就是就是 最小生成树问题， ，  先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)， ， 简称 MST 。

给定一个带权的无向连通图, 如何选取一棵生成树, 使树上所有边上权的总和为最小, 这叫最小生成树

1) N  个顶点，一定有 N-1  条边

2) 包含全部顶点

3) N-1  条边都在图中

4) 举例说明( 如图:)

5) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的

连通子图，也就是所谓的极小连通子图

普利姆的算法如下:

1) 设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合

2) 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1

3) 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将

顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1

4) 重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边

5) 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.

6) 图解普利姆算法

普里姆算法最佳实践(修路问题)

1) 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通

2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里

3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

4) 代码实现:

package com.example.demo.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        //测试看看图是否创建 ok
        char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
        int verxs = data.length;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通
        int [][]weight=new int[][]{
                {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                {2,3,10000,10000,4,6,10000}
        };
        //创建MGraph 对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.creatGraph(graph,verxs,data,weight);
        minTree.showGraph(graph);
        System.out.println(Arrays.toString(graph.data));
        minTree.prim(graph, 0);
    }
}

//最小生成树
class MinTree {

    /**
     *
     * @param graph
     * @param verxs 顶点个数
     * @param data 顶点的值
     * @param weight 邻接矩阵
     */
    public void creatGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
        int i,j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) { //顶点
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 显示图的邻接矩阵
     * @param graph
     */
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for (int[] link : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    /**
     * 得到最小生成树
     * @param graph 图
     * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成 'A'->0 'B'->1
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        //visited[] 标记结点（顶点）是否被访问过
        int visited[] = new int[graph.verxs];

        //把当前这个顶点标记为已访问
        visited[v] = 1;
        int minWeight = Integer.MAX_VALUE;
        int x = -1; //当前顶点能到达顶点的坐标
        int y = -1;
        //获取符合条件的verxs - 1 条边
        for (int k = 1; k < graph.verxs ; k++) {
            //遍历邻接矩阵
            for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
                for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {
                   //查找开始顶点为v 的，并且从v 到另个顶点的权值最小的顶点和权值
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        x = i;
                        y = j;
                   }
                }
            }

            System.out.println("edge: " + graph.data[x] + "->" + graph.data[y] + " weight: " + graph.weight[x][y]);
            //把y 置为已访问
            visited[y] = 1;
            //重置minWeight 的值
            minWeight = Integer.MAX_VALUE;
        }
    }

}


class MGraph {

    int verxs; //表示图的顶点个数
    char[] data;//存放顶点数据
    int[][] weight; //存放边，就是邻接矩阵

    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        this.data = new char[verxs];
        this.weight = new int[verxs][verxs];
    }
}