应用场景-修路问题
1) 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把 7 个村庄连通
2) 各个村庄的距离用边线表示( 权) 如 ,比如 A – – B 离 距离 5 公里
3) 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
思路: 将 10 条边,连接即可,但是总的里程数不是最小.
正确的思路,就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小,保证总里程数最少.
最小生成树
修路问题本质就是就是 最小生成树问题, , 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree), , 简称 MST 。
给定一个带权的无向连通图, 如何选取一棵生成树, 使树上所有边上权的总和为最小, 这叫最小生成树
1) N 个顶点,一定有 N-1 条边
2) 包含全部顶点
3) N-1 条边都在图中
4) 举例说明( 如图:)
5) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含 n 个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的
连通子图,也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
1) 设 G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U 是顶点集合,E,D 是边的集合
2) 若从顶点 u 开始构造最小生成树,则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中,标记顶点 v 的 visited[u]=1
3) 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将
顶点 vj 加入集合 U 中,将边(ui,vj)加入集合 D 中,标记 visited[vj]=1
4) 重复步骤②,直到 U 与 V 相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时 D 中有 n-1 条边
5) 提示: 单独看步骤很难理解,我们通过代码来讲解,比较好理解.
6) 图解普利姆算法
普里姆算法最佳实践(修路问题)
1) 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把 7 个村庄连通
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5 公里
3) 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
4) 代码实现:
package com.example.demo.prim;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试看看图是否创建 ok
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数,表示两个点不联通
int [][]weight=new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}
};
//创建MGraph 对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.creatGraph(graph,verxs,data,weight);
minTree.showGraph(graph);
System.out.println(Arrays.toString(graph.data));
minTree.prim(graph, 0);
}
}
//最小生成树
class MinTree {
/**
*
* @param graph
* @param verxs 顶点个数
* @param data 顶点的值
* @param weight 邻接矩阵
*/
public void creatGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i,j;
for (i = 0; i < verxs; i++) { //顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
* @param graph
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 得到最小生成树
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成 'A'->0 'B'->1
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
//把当前这个顶点标记为已访问
visited[v] = 1;
int minWeight = Integer.MAX_VALUE;
int x = -1; //当前顶点能到达顶点的坐标
int y = -1;
//获取符合条件的verxs - 1 条边
for (int k = 1; k < graph.verxs ; k++) {
//遍历邻接矩阵
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {
//查找开始顶点为v 的,并且从v 到另个顶点的权值最小的顶点和权值
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
minWeight = graph.weight[i][j];
x = i;
y = j;
}
}
}
System.out.println("edge: " + graph.data[x] + "->" + graph.data[y] + " weight: " + graph.weight[x][y]);
//把y 置为已访问
visited[y] = 1;
//重置minWeight 的值
minWeight = Integer.MAX_VALUE;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; //表示图的顶点个数
char[] data;//存放顶点数据
int[][] weight; //存放边,就是邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
this.data = new char[verxs];
this.weight = new int[verxs][verxs];
}
}